HS-5000： 確率統計手法の比較: アームモデルの確率統計スタディ

同じフィッティング関数を用いて確率統計スタディと信頼性ベースの設計最適化（RBDO）を実行する方法について学習します。

開始に先がけ、HS-4000： 最適化手法の比較: アームモデルの形状最適化を完了するか、もしくは<hst.zip>/HS-5000/にあるHS-4000.hstxアーカイブファイルをインポートします。

ベースポイント周りの確率統計スタディを実行します。

この確率統計スタディでは、Hammersley分布を用いて100回、300回および1000回のランを続けて実行し、統計的結果の収束を比較します。６つの入力変数をすべてランダム変数として定義し、正規分布に従います。

確率統計スタディの実行

このステップでは、GRSMで求められた最適ソリューションのロバスト性をチェックします。

  1. Stochastic（確率統計）を追加します。
    1. Explorer（エクスプローラ）内で右クリックし、コンテキストメニューからAdd（追加）を選択します。
      Add（追加）ダイアログが開きます。
    2. Definition from（定義元）に、アプローチを選択します。
    3. StochasticとSetup（セットアップ）選択し、OKをクリックします。
  2. Stochastic 1 > Definition（定義） > Define Input Variables（入力変数の定義）ステップに進みます。
  3. Active（アクティブ）列で、radius_1、radius_2、およびradius_3のチェックマークを外します。
    図 1.


  4. 最適設計におけるパラメータ値をコピーします。
    確率統計スタディでは、不確実性を考慮するために、パラメータの標準偏差σ（もしくは分散σ²）のデータを与える必要があります。デフォルトでは、σ²はHyperStudyで値域のルール σ² = ((上限値 - 下限値)/4)² を用いて計算されます。これは、入力変数の上限下限の関数です。標準偏差について信頼し得るデータがない場合、デフォルトのσ²は、パラメータの上限値と下限値を変更することで修正できます。
    1. Optimization 3 (GRSM, 6 IV, Exact Solver) > Evaluate（評価）ステップに進みます。
    2. Iteration History（反復計算履歴）タブをクリックします。
    3. length_1、length_2、length_3、length_4およびlength_5の最適パラメータ値を選択し、右クリックしてコンテキストメニューからCopy（コピー）を選択します。
      図 2.


    4. Stochastic 1 > Definition（定義） > Define Input Variables（入力変数の定義）ステップに進みます。
    5. length_1、length_2、length_3、length_4およびlength_5のNominal（初期値）欄を選択し、右クリックしてコンテキストメニューからPaste transpose（転置してペースト）を選択します。
    6. heightのNominal（初期値）を1.0に変更します。
    図 3.


  5. アクティブとなっている各入力変数のLower Bound（下限値）とUpper Bound（上限値）を、寸法のトレランスに合致するよう変更します。
    本チュートリアルでは、トレランスは0.05 mm以内と仮定しています。
    1. アクティブな入力変数のすべてについて、Nominal（初期値）欄の(...)をクリックします。
    2. ポップアップウィンドウで、Values（値）欄に0.05と入力し、+/-をクリックします。
      図 4.


    3. OKをクリックします。
    アクティブとなっているすべての入力変数のLower Bound（下限値）とUpper Bound（上限値）は、以下のように複製されたはずです。
    図 5.


  6. Distributions（分布）タブをクリックし、アクティブとなっているすべての入力変数について、分布がNormal Variance（通常の分散）となっていることを確認します。

    列1と列2を確認します。列1は初期パラメータ値を、列2は平均周りのパラメータの標準偏差σを用いて計算された分散σ²を示しています。

    分散は、σ² = ((上限値 - 下限値)/4)² で計算されます。例えば、入力変数length_1の分散は、σ²=((-0.45+0.55)/4)²=6.25e-4 となります。

    図 6.


  7. Stochastic 1 > Definition（定義） > Define Output Responses（出力応答の定義）ステップに進みます。
  8. ワークエリアのEvaluate From（算出方法）列で、すべての出力応答にFit - RBF (fit_4)を選択します。
    Max_stressは最適化スタディで使用されませんでしたが、確率統計スタディでは信頼性をチェックするために使用します。
    図 7.


  9. スタディ仕様を定義します。
    1. Stochastic 1 > Specifications（スタディ仕様）ステップに進みます。
    2. ワークエリア内でモードをHammersleyにセットします。
      Hammersleyサンプリングは、擬似モンテカルロ法のカテゴリーに属します。この手法は、Hammersleyポイントに基づいて、準乱数発生器を使用し、１つのユニット超方格を均等に抽出します。
    3. 適用をクリックします。
  10. タスクを評価します。
    1. Stochastic（確率統計） > Evaluate（評価）ステップに進みます。
    2. Evaluate Tasks（計算実行）をクリックします。
  11. 手法の収束をスタディします。
    1. Specifications（スタディ仕様）ステップに戻ります。Settings（セッティング）タブで、Number of Runs（実行の数）を300に、続いて1000に変更します。
    2. Evaluate（評価）ステップに進み、Evaluate Tasks（計算実行）をクリックします。

確率統計結果のポスト処理

  1. Stochastic 1 > Post Processing（ポスト処理）ステップに進みます。
  2. ベース設計の出力応答について統計を確認します。
    1. Integrity（インテグリティ）タブをクリックします。
    2. Channel（チャンネル）セレクターを使ってHealth（状態）カテゴリーを選択し、統計の概要のビューを取得し、最終的な、欠落した、または不良な値を確認します。
      Range列は、データ内の値の最小から最大までの分布を理解するのに役立ちます。
  3. 確率統計結果の頻度を確認します。
    1. Distribution（分布）タブをクリックします。
    2. Channel（チャンネル）セレクターを用いて、Length 1を選択します。
    このグラフは、選択された入力変数の値の分布について3つの情報を示しています。頻度は左側の軸を使用し、応答値のサブレンジを生み出すランの周波数を表します。確率密度は右側の軸を使用し、特定の値をとる入力変数の相対的な尤度を示します。この値が大きいほど、値はより起こり易くなります。累積分布は、右側の軸を使用する別のカーブです。これは、確率密度の積分と同等です。累積分布の値は、データの何パーセントが値の閾値を下回っているかを示します。累積分布の初期値は常に0に等しく、CDFの最終地は常に1.0であることにご留意ください。これは、データがすべて上限値と下限値の間にあるためです。
    図 8.


  4. Max_Dispの確率密度と累積分布を確認します。Hammersleyでの異なる実行の数（100、300および1000）により得られた分布を比較します。
    注: 分布のパターンは、実行回数100と300とではかなり異なりますが、300と1000とでは大差ありません。
    図 9. Hammersley、100回の実行


    図 10. Hammersley、300回の実行


    注:
    図 11. Hammersley、1000回の実行


  5. 出力応答についての不備の確率（ユーザーが選択した境界に出力応答が違反する確率）を推測します。
    1. Reliability（信頼性）タブをクリックします。
    2. Add Reliability（信頼性の追加）をクリックします。
    3. 信頼性を定義します。
      制約値は、最適化問題の定義からのものです（Max_Disp<=1.5）。
      • Response（応答）をMax_Disp (r_1)にセットします。
      • Bound Type（制約タイプ）を<=にセットします。
      • Bound Value（境界値）に1.50と入力します。
      結果は、実行の数の関数で、Hammersley手法の収束を示しています。収束は、実行の数を増やすことにより向上されます。実行数300または1000で得られた結果は極めて似ているため、ここでは、精確な結果を得るには実行数300で十分であると考えることができます。
      図 12. Hammersley、100回の実行


      図 13. Hammersley、300回の実行


      図 14. Hammersley、1000回の実行


    4. 制約値列に異なる値を入力し、信頼性の限界値の影響をスタディします。
    5. オプション: Max_Stressの信頼性をチェックします。
      図 15.


  6. Reliability Plot（信頼性プロット）タブをクリックし、システムの信頼性と望ましい閾値との間の関係を確認します。
    Reliability（信頼性）タブの信頼性列に示された値を、信頼性カーブで見ることができます。Max_Dispの信頼性カーブでは、設計の11.4%のみが1.5を上回る値を擁しており、これは、88.6%が1.5未満であることを表しています。Max_Dispの閾値を1.49763に変更することで、95%の信頼性を得ることができます。
    図 16.




信頼性ベースの最適化（RBDO）の実行

本ステップでは、最適化制約条件（max_disp < 1.5 mm）について95%の信頼性を求めます。

出力応答の検証に、解析ソルバーとは逆にフィッティング関数を使用します。近似は、MELS DOE.で作成されたRBFを使用します。その結果、SORA手法が使用されます。引き続き、6つの重要な入力変数を用い、それらはすべて正規分布に従います。以前GRSMで得られた最適ソリューションから最適化を開始します。
  1. Optimization（最適化）を追加します。
    1. Explorer（エクスプローラ）内で右クリックし、コンテキストメニューからAdd（追加）を選択します。
    2. Add（追加）ダイアログでOptimization（最適化）を選択します。
    3. Definition from（定義元）に、Setup（セットアップ）を選択しOKをクリックします。
  2. Optimization 7 > Definition（定義） > Define Input Variables（入力変数の定義）ステップに進みます。
  3. Active（アクティブ）列で、radius_1、radius_2、およびradius_3のチェックマークを外します。
  4. 最適設計におけるパラメータ値をコピーします。
    1. Optimization 3 (GRSM, 6 IV, Exact Solver) > Evaluate（評価）ステップに進みます。
    2. Iteration History（反復計算履歴）タブをクリックします。
    3. 最適設計を探し、length_1、length_2、length_3、length_4およびlength_5のパラメータ値をコピーします。
    4. Optimization 7 > Definition（定義） > Define Input Variables（入力変数の定義）ステップに進みます。
    5. length_1、length_2、length_3、length_4およびlength_5のNominal（初期値）欄を選択し、右クリックしてコンテキストメニューからPaste transpose（転置してペースト）を選択します。
    6. heightのNominal（初期値）を1.0に変更します。
  5. 分布を修正します。
    1. Distribution（分布）タブをクリックします。
    2. Distribution Role（分布情報）列で、アクティブであるすべての入力変数にDesign with Random（ランダムを使用した設計）を選択します。
      図 17.


    3. アクティブなすべての入力変数の列2に、6.25e-04と入力します。
      図 18.


  6. Optimization 7 > Definition（定義） > Define Output Responses（出力応答の定義）ステップに進みます。
  7. Objectives/Constraints - Goals（目的 / 制約条件 - 目標）タブをクリックします。
  8. Volume出力応答に目的を適用します。
    1. Add Goal（目標を追加）をクリックします。
    2. Apply On（応答）列で、Volumeを選択します。
    3. Type （タイプ）列に、Minimizeを選択します。
    図 19.


  9. Max_Disp出力応答に制約条件を適用します。
    1. Add Goal（目標を追加）をクリックします。
    2. Apply On（応答）列で、Max_Dispを選択します。
    3. Type （タイプ）列に、Moreを選択します。
    4. 列1で、Probabilistic Constraint（確率的制約）を選択します。
    5. 列2で、<= 1.5000000,CDF=95.000000と入力します。
    図 20.


  10. 評価ソースを修正します。
    1. Define Output Responses（出力応答の定義）タブをクリックします。
    2. Evaluate From（算出方法）列で、すべての出力応答にFit - RBF (fit_4)を選択します。
    図 21.


  11. スタディ仕様を定義します。
    1. Optimization 7 > Specifications（スタディ仕様）ステップに進みます。
    2. ワークエリア内でMode（モード）をSequential Optimization and Reliability Assessment（逐次最適化信頼性評価） （SORA）にセットします。
    3. 適用をクリックします。
  12. タスクを評価します。
    1. Optimization 7 > Evaluate（評価）ステップに進みます。
    2. Evaluate Tasks（計算実行）をクリックします。
  13. Iteration History（反復計算履歴）タブをクリックし、最適化の結果を一覧で確認します。
    まず、決定論的最適設計が見つかります。反復計算1に見られるとおり、変位は制約条件の境界にあります。この設計は本確率的最適化スタディで求められる95%の信頼性ではありません。SORAは、制約条件が確率統計的な要件を確実に満たすよう機能します。反復計算2に見られるとおり、信頼性95%に見合う設計は、最大変位が1.5のものです。この改善に対応し、目的関数値（volume）の増加が見られます。
    図 22.


検証の確率統計スタディの実行

SORAは信頼性計算についての近似法を使用するため、最適化の後に検証の確率統計スタディを行うことが推奨されます。

  1. 確率統計のアプローチをコピーします。
    1. Explorer（エクスプローラ）でStochastic 1 (Hammersley)を右クリックし、コンテキストメニューからCopy（コピー）を選択します。
    2. Copy（コピー）ダイアログで、Label（ラベル）欄にValidation SORAと入力し、OKをクリックします。
  2. SORA最適化からの最適ソリューションをValidation SORA確率統計スタディの入力変数の初期値列にコピー＆ペーストします。
    1. Optimization 7 > Evaluate（評価）ステップに進みます。
    2. Iteration History（反復計算履歴）タブをクリックします。
    3. length_1、length_2、length_3、length_4およびlength_5パラメータ値をコピーします。
    4. Validation SORA > Definition（定義） > Define Input Variables（入力変数の定義）ステップに進みます。
    5. length_1、length_2、length_3、length_4およびlength_5のNominal（初期値）欄を選択し、右クリックしてコンテキストメニューからPaste transpose（転置してペースト）を選択します。
  3. アクティブとなっている各入力変数の下限値と上限値を、寸法のトレランスに合致するよう変更します。
    本チュートリアルでは、トレランスは0.05 mm以内と仮定しています。
    1. アクティブな入力変数のすべてについて、Nominal（初期値）欄の(...)をクリックします。
    2. ポップアップウィンドウで、Values（値）欄に0.05と入力し、+/-をクリックします。
    3. OKをクリックし、変更を適用してポップアップウィンドウを閉じます。
  4. スタディ仕様を定義します。
    1. Validation SORA > Specifications（スタディ仕様）ステップに進みます。
    2. Mode（モード）がHammersleyに設定されていることを確認します。
    3. Settings（セッティング）タブで、Number of Runs（実行の数）が1000になっていることを確認します。
    4. Apply（適用）をクリックします。
  5. タスクを評価します。
    1. Validation SORA > Evaluate（評価）ステップに進みます。
    2. Evaluate Tasks（計算実行）をクリックします。
  6. Validation SORA > Post Processing（ポスト処理）ステップに進みます。
  7. Max_Dispについて信頼性を追加します。
    1. Reliability（信頼性）タブをクリックします。
    2. Add Reliability（信頼性の追加）をクリックします。
    3. 信頼性を定義します。
      • Response（応答）をMax_Dispにセットします。
      • Bound Type（制約タイプ）を<=にセットします。
      • Bound Value（境界値）に1.50と入力します。
    結果は、SORAで求められた最適ソリューションの信頼性が95%であることを裏付けています。