感度の計算

入力uに対する出力y(u)の感度は、uの単位変化に起因するyの変化として定義されます。

動作点 $(y_{0}, u_{0})$ を中心として、テーラー級数を次のように記述できます。

y = y_{0} + (\frac{\partial y}{\partial u}) (u - u_{0}) + O (b) = y_{0} + (\frac{\partial y}{\partial u}) Δ u + O (b)

数量 $(\frac{\partial y}{\partial u})$ を、入力uに対する数量yの1次感度と呼びます。

感度解析は、数学的なモデル（システム（y））の出力の変化や不確定性を、その入力（u）の変化や不確定性のさまざまな発生源にどのように帰結できるかについての研究です。

設計感度解析では、数量（u）は設計bです。ここで明らかにしようとしているのは、設計bの特定の変化に応じて、応答yがどのように変化するのかということです。

マルチボディシミュレーションでは、応答 $y$ は、一般に、指定された設計b に関するシステム状態 $x$ および $\dot{x}$ の関数です。システム状態 $x$ の構成要素は、(a)変位、(b)速度、(c)Lagrange乗数（または拘束反力）、(d)ユーザー定義の微分方程式、(e)変数とLSE/GSE/TFSISOの出力から得られるユーザー定義の代数方程式、および(f)計算を簡素化する内部で作成された中間状態です。

数学的には次のとおりです：

\begin{array}{l} y = y (x, \dot{x}, b) \\ ∴ \frac{Δ y}{Δ b} = (\frac{\partial y}{\partial x}) \frac{\partial x}{\partial b} + (\frac{\partial y}{\partial \dot{x}}) \frac{\partial \dot{x}}{\partial b} + \frac{\partial y}{\partial b} + higher order terms \end{array}

運動方程式によって、（xとb）と（ $\dot{x}$ と（x、b））の間の暗黙的な関係が得られます。数量 $\frac{\partial x}{\partial b}, \frac{\partial \dot{x}}{\partial b} and \frac{\partial y}{\partial b}$ が最初に計算される必要があります。これらが求まると、設計感度 $\frac{Δ y}{Δ b}$ を計算できます。

$\frac{Δ y}{Δ b}$ の計算は、MotionSolveでは設計感度解析（DSA： Design Sensitivity Analysis）と呼ばれます。これはMotionSolveによる新しい解析手法です。この解析には、静解析、準静解析、運動学解析、動解析などの通常の解析が必ず伴います。

通常の解析の役割は、特定の設計bについて状態x、zと出力yを計算することです。

これらが求まったら、DSA解析によって感度 $\frac{Δ y}{Δ b}$ が計算されます。N_y個の応答とN_b個の設計変数が存在する場合、 $[\frac{Δ y}{Δ b}]$ はN_y x N_b次元のマトリックスです。

設計感度を計算するためのよく知られた手法は、有限差分、直接微分、随伴手法の3つがあります。